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原创:曹则贤回到朴费马主张自己解释过，但书边写不出解释过程的那个推测，后来成了费马大定理 300年来，费马定理的解释吸引了许多数学家的前仆，产生了许多无心插柳式的成果 虽然现在已经解释了费马定理，但我们也许可以期待费马得到的那样简洁的解释 写文章|曹则贤(中国科学院物理研究所研究员) 1费马这个法国人费马是科学史上的传奇人物，职业是律师，但闻名于世的是他的数学研究 对学习物理学的人来说，费马的名字与光学中费马的原理联系在一起:“光在两点之间传播的路径，使使用时间最短” “这是物理学中最小作用量原理( least action principle，最小工作原理)快速发展过程中的重要一环 作为业馀数学家，费马是微分求极值的技术先驱，研究过数论、解析几何学、概率论等学问 费马熟读希腊语，精通希腊古典典籍 有人说费马的数学基础是希腊典籍和韦达的新代数方法 2费马定理亚历山大的德番图是数学家，有代数之父的美称，编撰了一本叫arithmetica (算术)的丛书 《算术》的丛书大部分已经丢失了 《算术》丛书中考虑了多种不同形式的代数方程。 其中之一是形状为xn+yn=zn的方程式。 其中x、y、z和n都是正整数。 对于n=1，方程x+y=z是自然数的加法，有无限多组解 当n=2，方程x2+y2=z2时，有众所周知的毕达哥拉斯序列，如( 3，4，5 )，( 5，12，13 )，( 9，40，41 )，( 11，60，61 )，( 13 如果将n扩展为负整数，则相对于n=-1，方程为x-1+y-1=z-1 (optic equation )，3数组( 6，3，2 )显然是方程的解 如果给定3个整数m，n，k，则x=km(m+n )，y=kn(m+n )，z=kmn，则可以得到满足x-1+y-1=z-1，例如( 15，10，6 )，( 28 在n=-2的情况下，方程式为x-2+y-2=z-2，任意三个数组a=(u2-v2)(u2+v2 )，b=2uv(u2+v2 )，c = 2uv 费马一边阅读飞镖《算术》一书的拉丁语译本，一边认真研究这些飞镖方程式 1637年，费马在第11卷第8命题旁边写道:“不可能把一个立方数分为两个立方数之和，或者把一个四次方分为两个四次方之和，或者通常把两个以上的乘方分为两个同次方之和。” 关于这一点，我确信发现了很棒的证明法，但是很遗憾这里的空白地方太小了，不能写 拉丁语不长。 这里有“cubum autem in duos cubos、autquadratoquadratuminduosquadratoquadratos、 etgeneraliternullamininfinitumultraquadratumpotestateminduosejusdemnominisfasestpidere:cujusreidemonstrationemmirabilenamea uitasnonCaperet .”的意思是费马的推测方程xn+yn=zn对n>2没有解，是所谓费马的推测或费马的定理[1]。 有兴趣的是，费马写这句话28年后去世，他主张的证法没有公布。 1667年，费马的儿子在他留下的书中翻出这句话来公开，1670年再版《算术》一书就收录了费马的评论(图1 )。 费马的评论和猜想逐渐成为费马的定理 图1 .法国1670年再版的陀螺《算术》书中包含费马评论的一页三费马定理的说明费马定理吸引了无数数学爱好者 但是，在1667年到1990年代的300多年间，数学家没有成功地解释过这个推测，这个推测被评价为最困难的数学题(当然是指所有人都能理解的问题)。 渐渐地，从怀疑费马是否得到了这个推测的简洁的说明中，甚至怀疑这个推测是否进行了简洁的说明。 在对费马的怀疑声中，有看法认为他这么写的时候，正确知道自己没有解释，关于动机很难说 费马的这种行为有些人被模仿了。 后世英国数学家哈迪寄给丹麦数学家玻尔的明信片上说:“说明了雷曼的预想。 ”他的想法是，如果不幸遭遇海难，人们会从明信片的复印件中解释雷曼猜想。 即使将来雷曼猜想向别人解释，也有人认为他首先解释了雷曼猜想 现在读这个文案，说明哈迪当初的战略成功了。 费马定理的说明刺激了19世纪解体数学的迅速发展和20世纪模型形式定理的说明，投入费马定理说明的努力也不浪费，可以说是产金蛋鸭的推测 对通常情况进行了说明，但在期间中出现了多个对比特定的n值的说明 费马自己解释了n=4时的方程式不能求解 对于n=4，方程x4+y4=z4可以进一步改写为x4+y4=(z2)2 另外一方面，由于边为整数直角三角形的面积不可能是整数的平方，所以可以导出x4+y4=w2无( x，y )对互质的解 或者，如果( x1，y1，z1 )是x4+y4=z4的解，则一定存在一组更小的解( x2，y2，z2 )，该序列可以一直持续下去 但这是不可能的，要求是整数，所以数组( x，y，z )作为解需要最小的可能性 这表明没有n=4时方程式的解 关于n=4，有多个不同的说明，包括欧拉、勒让德、勒贝格( victor-amédée lebesgue，1791-1875 )、克罗内克等数学家 关于n=5，成功说明的数学家有欧拉、勒内、勒贝格、迪利等 勒贝格关于n=5和n=7的解释见于论文théorèmesnouveauxsurl 'équation indéterminéex5 + y5 = az5 (关于不定方程式x5+y5=az5的新定理)。 journaldemathématiquespuresetappliques 8，49–70 ( 1843 )和démonstrationdel ' im possibilitéderésoudrel 'équationx7+ y7 = z7 ennombres 但是，我觉得很难理解 以n=5的解法之一为例，感受一下说明的难度吧 如果x5+y5=z5有整数解，显然认为xyz≠0，且gcd(x，y，z)=1，这意味着这三个最大公倍数是1，它们互相为质。 当然，奇数的整数幂是奇数，偶数的整数幂是偶数，两个奇数之和及其差都是偶数，所以x、y被认为是奇数，z是偶数 根据苏菲的描述，我们可以假设xyz是5的倍数。 法国女数学家索菲·日耳曼( sophie germain，1776-1831 )解释说，如果n≥3且2n+1是素数，则xyz可以被n整除。 如果能整除xyz，就有两种可能性，5能整除z，5不能整除z 如果能整除5z，且z是偶数，则z通常可以用z=2m5kz '的形式表现 在不能整除5z的情况下，假设能整除奇数x，可设为x = 5kx’ 从这里出发，最终可以引导矛盾 过程太长，这里不提供具体细节。 有有趣的网友，请参阅文后推荐阅读。 请记住，无意中的网民可能难以迈出伟大事业的每一步 1994年英国数学家威尔斯( andrew wiles，1953-)主张费马定理 怀尔斯提交了两篇论文。 modularellipticcurvesandfermat ' s last theorem (模式形式椭圆曲线和费马定理)和ringtheoreticpropertiesofcertainheckealgebras (某些hecke的代数) 这两个复印件是1995年作为数学年鉴杂志的一号发表的，有多少人能读？ 笔者不擅长阅读，不想介绍 4多馀的话肯定是网友有疑问，既然你也不擅长读(其实没读过)，关于威尔斯费马定理的说明，为什么写这篇短篇呢？ 本论文没有提供任何感兴趣的有意义的说明 let me tell you .我之所以写这个，是因为我那样动不动，篇幅达到2300页，被人类以外的语言复盖，还使用了计算机的数学说明，所以心里不太接受。 这可能是由于面对任何数学文案我都无法理解的挫折感 关于用户的问题费马定理，我倾向于相信它有简洁的解释。 也就是说，我希望它有简洁的说明，有它美丽的( aesthetic appeal )说明。 哪个费马定理在具体的某n的情况下成立的说明多得令人毛骨悚然，并不排除存在简洁的证法的理由 说明的缺失可能是由于对问题缺乏更高层次的理解 为了那个简洁的说明，我想数学家一定很努力，我也想等。 评论[1]中文通常被称为费马定理，但英语的Fermat’s last theorem应该翻译成费马最后的定理，就像法语的le dernier théorème de fermat一样。 法语中也被称为grand théorème de fermat，这就是费马定理 费马在1640年还提出了费马的小定理，Fermat’slittletheorem，le petit théorème de fermat。 这个称呼只是为了与上述定理相区别，两者没有意义大小的差异 1 .建议浏览1. ian stewart、david tall、AlgebraicnumbertheoryandFermat ' s Last Theorem、4th edition、crc ().2. nigel boston。 the proof of fermat's last theorem，springer ( 2003 ).3.haroldm.Edward，Fermat ' s last theorem:ageneticintroductiontalgor 3rd edition 版权证书:欢迎个人转发。 不允许任何形式的媒体或机构，不得转载和摘录。 转载许可请在“返朴”微信公共平台内联系后台 阅读原文
